Matemáticas
Cómo resolver sistemas de ecuaciones
Escale las ecuaciones hasta que coincidan los coeficientes de una letra, sume o reste para quitarla y sustituya. Solución de 3x + 2y = 19 y 4x − 5y = 10.
La respuesta corta
Un sistema de ecuaciones son dos ecuaciones que comparten el mismo par de incógnitas, y resolverlo es encontrar el único par de valores que satisface las dos. Elimine una letra escalando las ecuaciones hasta que sus coeficientes coincidan, sume o reste para quitarla y sustituya el resultado para hallar la otra.
El método, paso a paso
Alinee las dos ecuaciones en el mismo orden
(1) 3x + 2y = 19 (2) 4x - 5y = 10Poner el término en x, el término en y y la constante en las mismas posiciones en las dos líneas es lo que convierte el paso siguiente en una operación por columnas y no en una búsqueda. Numerar las ecuaciones también cuenta: va a referirse a ellas, y "sustituir en (1)" es más claro que señalar una línea.
Elija la letra que va a eliminar y haga coincidir sus coeficientes
(1) × 5: 15x + 10y = 95 (2) × 2: 8x - 10y = 20Multiplicamos cada ecuación entera por el coeficiente de la otra para que los términos en y queden como +10y y −10y. Multiplicar una ecuación entera por un número la deja diciendo lo mismo, y por eso está permitido. Elegir aquí la y y no la x no es arbitrario: los signos ya son opuestos, así que el paso siguiente es una suma.
Sume o reste para quitar esa letra
15x + 10y + 8x - 10y = 95 + 20 → 23x = 115 → x = 5Los signos opuestos se suman; los signos iguales se restan. El objetivo es una sola ecuación con una incógnita, que es un problema ya resuelto. Sumar cuando los signos coinciden —el fallo más habitual aquí— deja las dos letras en su sitio y el desarrollo no lleva a ninguna parte.
Sustituya en la ecuación original más sencilla
3(5) + 2y = 19 → 15 + 2y = 19 → 2y = 4 → y = 2Volver a una ecuación original en lugar de a una de las escaladas mantiene los números pequeños y evita heredar un error del escalado. Cualquiera de las dos originales sirve; elegir la de coeficientes más pequeños es un ahorro que sale gratis.
Compruebe en la ecuación que no usó
4(5) - 5(2) = 20 - 10 = 10 ✓Sustituir en la ecuación que empleó para la sustitución solo demuestra la aritmética de esa línea. Usar la otra ecuación contrasta los dos valores con información con la que todavía no se han comparado, y eso es lo que la convierte en una comprobación de verdad.
Qué está preguntando un sistema de dos ecuaciones
Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones: para 3x + 2y = 19, cualquier x tiene una y que funciona. Dos ecuaciones juntas suelen reducir eso a un único par, y ese par es la respuesta. Geométricamente, cada ecuación es una recta y la solución es el punto donde se cortan.
Esa imagen explica los casos incómodos. Dos rectas paralelas no se cortan nunca, así que las ecuaciones no tienen solución y eliminar una letra quita también la otra, dejando algo falso como 0 = 7. Dos rectas idénticas se cortan en todas partes, y la misma eliminación deja 0 = 0.
El método de sustitución y cuándo usarlo
La eliminación es la opción por defecto porque resuelve la mayoría de los pares con menos escritura. La sustitución es más rápida en una situación concreta: cuando una ecuación ya da una letra despejada, o se puede despejar en un solo movimiento.
Tome y = 2x − 1 y 3x + y = 9. Sustituir y en la segunda ecuación da 3x + (2x − 1) = 9, así que 5x − 1 = 9, 5x = 10 y x = 2. Entonces y = 2(2) − 1 = 3. Comprobando en la segunda ecuación: 3(2) + 3 = 9. El par es x = 2, y = 3.
- Use la eliminación cuando las dos ecuaciones tienen la forma ax + by = c
- Use la sustitución cuando una ecuación ya se lee y = … o x = …
- Los dos métodos dan la misma respuesta: la elección es de aritmética, no de corrección
Convertir un problema con enunciado en dos ecuaciones
La mayor parte de los puntos de examen de este tema son por plantear las ecuaciones y no por resolverlas. El patrón es constante: dos cantidades desconocidas, dos informaciones distintas sobre ellas, una ecuación de cada información.
Defina las letras por escrito antes que nada —"sea c el precio de una silla en rupias"— porque una x sin etiqueta es donde se pierden los puntos de razonamiento. Después lea cada frase de la pregunta como una ecuación aparte, y empiece a resolver cuando las dos estén escritas.
Cómo enseñamos esto
Insistimos en la comprobación en la ecuación que no se usó. Los alumnos que comprueban en la ecuación en la que sustituyeron se creen respuestas equivocadas, y los sistemas de ecuaciones son un tema donde un único error de signo produce un par de aspecto plausible.
Con los alumnos de GCSE dedicamos más tiempo a plantear las ecuaciones que a resolverlas, porque ahí es donde el examen pone los puntos. Resolver es un procedimiento; traducir un párrafo a dos líneas de álgebra es la destreza que se está evaluando.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se suman y cuándo se restan las ecuaciones?
Mire los signos de los términos que va a eliminar. Si son opuestos, como +10y y −10y, sume las ecuaciones. Si coinciden, como +10y y +10y, reste. Hacerlo al revés deja las dos letras en su sitio, y esa es la señal para revisar los signos.
¿Qué diferencia hay entre eliminación y sustitución?
La eliminación escala las dos ecuaciones para que una letra se cancele al sumarlas o restarlas. La sustitución despeja una letra en una ecuación y mete esa expresión en la otra. Las dos dan la misma respuesta; la eliminación suele exigir menos escritura, salvo que una ecuación ya se lea y = algo.
¿Por qué mi desarrollo termina en 0 = 5?
Porque las dos ecuaciones describen rectas paralelas y no hay ningún par de valores que satisfaga las dos. No es un error: es la respuesta, y el punto se da por decir que no hay solución. Si termina en 0 = 0, las dos ecuaciones son la misma recta y hay infinitas soluciones.
¿En qué ecuación original conviene sustituir?
En la que tenga los coeficientes más pequeños, y siempre en una original y no en una que usted escaló. Usar una ecuación escalada arrastra cualquier error de multiplicación hasta la segunda respuesta, y allí cuesta más verlo que en la primera.
¿Puede un sistema tener tres incógnitas?
Sí, pero entonces hacen falta tres ecuaciones: como regla, se necesitan tantas ecuaciones independientes como incógnitas. El método es el mismo: eliminar una letra para reducir tres ecuaciones a dos y después resolver el par. Eso va más allá del GCSE, donde dos incógnitas es el caso estándar.
Fuentes
- 5.3 Solve Systems of Equations by Elimination — Elementary Algebra 2e — OpenStax, Rice University
Última actualización
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