Matemáticas
Cómo usar el teorema de Pitágoras
Sume los cuadrados para hallar la hipotenusa y reste para hallar un cateto. Ejemplos con un triángulo 5-12-13 y una hipotenusa de 10, más el recíproco.
La respuesta corta
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados: a² + b² = c². Sume los cuadrados para hallar la hipotenusa, reste para hallar un cateto y después extraiga la raíz cuadrada.
El método, paso a paso
Confirme que el triángulo tiene un ángulo recto
a² + b² = c² (only for right-angled triangles)El teorema no es un hecho general sobre triángulos, y aplicarlo a uno sin ángulo recto produce una respuesta muy segura de sí misma y equivocada. Busque el cuadradito de la esquina, o un enunciado que lo garantice: una pared que se encuentra con el suelo, una escalera de mano, una diagonal de un rectángulo.
Identifique la hipotenusa
hypotenuse = the side opposite the right angle = the longest sideTodo lo demás depende de esto. La hipotenusa siempre está enfrente del ángulo recto y siempre es el lado más largo, esté el triángulo dibujado o girado como esté en la página. Etiquetarla antes de escribir nada evita el error que produce todas las respuestas imposibles de este tema.
Decida si hay que sumar o restar
finding the hypotenuse: c² = a² + b² finding a shorter side: a² = c² - b²Sumar da siempre el lado más largo, así que restar es lo que hace falta cuando la hipotenusa ya se conoce. Esta única decisión explica la mayoría de las respuestas equivocadas aquí, y se resuelve con una pregunta: ¿el lado que falta es el más largo o no?
Sustituya y eleve al cuadrado
c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169Eleve al cuadrado cada longitud antes de sumar. Sumar primero y elevar después da 17² = 289, que es incorrecto, y el error es fácil de cometer trabajando deprisa. Dejar los cuadrados en su propia línea lo hace visible.
Extraiga la raíz cuadrada e indique las unidades
c = √169 = 13 cmLa ecuación da c², no c, y pararse en 169 es un punto perdido más que una respuesta incorrecta. Las unidades vienen de la pregunta y se arrastran sin cambios, ya que la raíz cuadrada de una cantidad con forma de área devuelve una longitud.
Contraste el resultado con la hipotenusa
13 > 12 > 5 ✓ (the hypotenuse must be the longest side)Una hipotenusa más corta que alguno de los otros lados significa que la decisión de sumar o restar fue en el sentido equivocado. Esta comprobación lleva un momento y detecta el error más común del tema, que es el que ninguna aritmética exacta va a encontrar.
Hallar un cateto
Cuando se conoce la hipotenusa y falta uno de los otros lados, el teorema se reordena en lugar de sustituirse por otro. Para un triángulo rectángulo con hipotenusa de 10 cm y un cateto de 6 cm, el lado que falta cumple a² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, así que a = 8 cm.
La comprobación es inmediata: 8 es más corto que la hipotenusa de 10, como tiene que ser. Un alumno que hubiera restado en el orden contrario habría llegado a √(36 − 100), que no es un número real: la propia aritmética se niega, y eso es un aviso útil.
Cuando la respuesta no es un número entero
La mayoría de los triángulos reales no dan respuestas limpias. Con catetos de 7 cm y 9 cm, c² = 49 + 81 = 130, así que c = √130 ≈ 11.4 cm con un decimal. La respuesta exacta es √130, y si se deja en forma de radical o se redondea lo decide la pregunta.
Las ternas que sí salen enteras vale la pena reconocerlas, porque aparecen una y otra vez en las preguntas de examen y verlas ahorra el cálculo entero: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 y cualquier múltiplo de estas, como 6-8-10 o 9-12-15.
- 3, 4, 5: porque 9 + 16 = 25
- 5, 12, 13: porque 25 + 144 = 169
- 8, 15, 17: porque 64 + 225 = 289
- 7, 24, 25: porque 49 + 576 = 625
Usarlo al revés para comprobar si hay ángulo recto
El teorema funciona en sentido inverso. Si los cuadrados de los dos lados más cortos suman el cuadrado del más largo, el triángulo tiene que ser rectángulo; si no lo hacen, no lo es. Este es el recíproco, y las preguntas lo piden con la forma "demuestre que este triángulo es rectángulo".
Para los lados 8, 15 y 17: 8² + 15² = 64 + 225 = 289, y 17² = 289, así que el triángulo es rectángulo. Para los lados 5, 6 y 8: 5² + 6² = 25 + 36 = 61, pero 8² = 64, así que no lo es. La conclusión hay que escribirla con palabras para llevarse el punto.
Cómo enseñamos esto
Pedimos a los alumnos que etiqueten la hipotenusa en el dibujo antes de escribir un solo número. Casi todos los errores de este tema vienen de que esa etiqueta se dio por supuesta en lugar de comprobarse, sobre todo cuando el triángulo está girado o se encuentra dentro de una figura mayor.
La comprobación final —¿es la hipotenusa el lado más largo?— se enseña como parte del método y no como un consejo. No cuesta nada y es el único paso que detecta una decisión equivocada de sumar o restar, algo que la aritmética exacta nunca hará.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se suma y cuándo se resta en Pitágoras?
Se suma cuando el lado que falta es la hipotenusa y se resta cuando es uno de los catetos. Sumar produce siempre el lado más largo, así que si la hipotenusa ya viene dada, lo que queda es restar. Decidirlo antes de sustituir evita el error más común del tema.
¿Qué lado es la hipotenusa?
El que está enfrente del ángulo recto, que es siempre el lado más largo del triángulo. No depende de cómo esté dibujado el triángulo ni de en qué posición esté en la página. Marcarlo en el dibujo antes de empezar merece los pocos segundos que cuesta.
¿El teorema de Pitágoras vale para cualquier triángulo?
No, solo para los triángulos rectángulos. Para los triángulos sin ángulo recto hace falta el teorema del coseno. Aplicarlo a un triángulo que no tiene ángulo recto da una respuesta de aspecto razonable y equivocada, y por eso importa mirar el dibujo.
¿Qué hago si la respuesta no es un número entero?
Déjela como un radical, por ejemplo √130, si la pregunta pide una respuesta exacta, o redondee como se indique. Las dos son respuestas correctas a preguntas distintas. Si no se especifica nada, uno o dos decimales con las unidades indicadas es la opción segura.
¿Cómo demuestro que un triángulo es rectángulo?
Eleve al cuadrado los dos lados más cortos, súmelos y compare con el cuadrado del más largo. Si son iguales, el triángulo es rectángulo. Para 8, 15 y 17: 64 + 225 = 289 = 17². Escriba la conclusión en una frase: el punto es por la afirmación, no solo por la aritmética.
Fuentes
- 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem — Prealgebra 2e — OpenStax, Rice University
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