Cómo resolver ecuaciones básicas de álgebra

El método, paso a paso

1. 01

   Quite los paréntesis

   3(2x + 1) = x + 18 → 6x + 3 = x + 18

   Un paréntesis mantiene los términos de dentro sujetos a lo que los multiplica, y no se puede reunir nada hasta soltarlos. El 3 multiplica a los dos términos, así que 2x pasa a 6x y 1 pasa a 3. Multiplicar solo el primer término es el error más frecuente de todo el tema.

2. 02

   Reúna las letras a un lado

   6x + 3 - x = x + 18 - x → 5x + 3 = 18

   Quitar x en los dos lados la elimina de la derecha sin cambiar lo que dice la ecuación, porque los dos lados pierden lo mismo. Elegir quedarse con el lado que tiene más términos en x hace que el coeficiente siga siendo positivo, y eso retira toda una clase de errores de signo más adelante.

3. 03

   Reúna los números al otro lado

   5x + 3 - 3 = 18 - 3 → 5x = 15

   Quitamos 3 en los dos lados para dejar solo el término en x. El 3 estaba sumado a 5x, así que restar es lo que lo deshace. Trabajar en el orden inverso al de las operaciones —deshacer la suma antes que la multiplicación— es la razón de que la letra acabe aislada y no más enredada.

4. 04

   Deshaga la multiplicación

   5x ÷ 5 = 15 ÷ 5 → x = 3

   5x significa 5 multiplicado por x, así que dividir los dos lados entre 5 deja una sola x. Esta es la última operación que se deshace porque fue la primera que se aplicó a la letra, y dividir antes dejaría fracciones que arrastrar por todas las líneas restantes.

5. 05

   Compruebe sustituyendo en la ecuación original

   LHS: 3(2×3 + 1) = 3 × 7 = 21 RHS: 3 + 18 = 21 ✓

   Meter la respuesta en la ecuación original, y no en la versión ya ordenada, es lo que la demuestra. Comprobar contra una línea que usted mismo reescribió le confirmará su propio error. Que los dos lados den 21 es la prueba de que x = 3 es correcto.

01

La regla que hay debajo de todo

Una ecuación es una afirmación de que dos cosas son iguales, y todo movimiento legítimo conserva esa igualdad. Lo que se hace en un lado se hace en el otro: sumar lo mismo, restar lo mismo, multiplicar por lo mismo, dividir entre lo mismo. No hay una regla aparte para "pasar un término al otro lado cambiando el signo": eso es una abreviatura de restarlo en los dos lados.

Los alumnos que aprenden la abreviatura sin el motivo la aplican donde no vale, casi siempre a términos que están multiplicando en lugar de sumando. Escribir la línea completa durante unas semanas es más lento y, para la mayoría, bastante más rápido al final.

02

Por qué importa el orden en que se deshace

Construir una expresión aplica las operaciones en un orden; resolver lo invierte. Si a x se la multiplicó por 5 y después se le sumó 3, deshacer significa restar primero el 3 y dividir después entre 5. Dividir primero no es incorrecto, pero obliga a pasar todos los términos siguientes por una fracción sin ganar nada a cambio.

Este es el mismo razonamiento que hay detrás de quitar los paréntesis antes de reunir términos. El paréntesis es la operación más externa que se aplicó, así que es la primera que se suelta.

• Paréntesis: desarróllelos
• Letras: reúnalas en el lado que mantiene el coeficiente positivo
• Números: reúnalos en el otro lado
• Coeficiente: divídalo el último
• Comprobación: sustituya en la ecuación original

03

Dónde se pierden de verdad los puntos

Tres errores explican la mayor parte de los puntos perdidos a este nivel, y ninguno es una falta de comprensión del álgebra. Son mecánicos, son predecibles y se arreglan escribiendo una línea más, no una menos.

El último de los tres merece nombrarse con claridad: los signos negativos. Cuando delante de un paréntesis hay un menos, todos los términos de dentro cambian de signo, así que 5 − 2(x − 4) se convierte en 5 − 2x + 8. Los alumnos que fallan aquí no suelen estar confundidos: van demasiado deprisa para escribir la línea intermedia.

• Multiplicar solo el primer término de dentro de un paréntesis
• Hacer algo en un lado y olvidarlo en el otro
• Perder un signo negativo al desarrollar un paréntesis precedido de un menos
• Comprobar contra una línea reescrita en lugar de la ecuación original

04

Cómo enseñamos esto

Pedimos la línea completa —la operación escrita en los dos lados— hasta que el alumno sabe explicar por qué cada movimiento es legítimo. La abreviatura llega después, y llega antes por haber sido ganada en lugar de copiada.

Toda solución termina con una comprobación por sustitución, hecha en clase y no dejada como consejo. Cuesta treinta segundos, convierte una respuesta insegura en una segura y crea el hábito que más adelante hace mucho menos frágiles los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones cuadráticas.