Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

El método, paso a paso

1. 01

   Reordene a la forma estándar

   x² + 5x = 24 → x² + 5x - 24 = 0

   Todos los métodos que vienen después dan por hecho que un lado es cero, porque el enfoque entero descansa en que un producto vale cero únicamente cuando uno de sus factores es cero. Una ecuación dejada como x² + 5x = 24 no puede usar eso, ya que dos paréntesis que multiplican a 24 no dicen nada sobre ninguno de los dos.

2. 02

   Busque dos números que multipliquen a ac y sumen b

   need: product -24, sum +5 → +8 and -3

   Esta búsqueda es en lo que consiste factorizar. Aquí a = 1, así que la pareja va directa a los paréntesis. Listar las parejas de factores de 24 y probar sus sumas va más rápido que quedarse mirando: 1 y 24, 2 y 12, 3 y 8, 4 y 6 —y 8 con −3 da −24 y +5.

3. 03

   Escriba los paréntesis e iguale cada uno a cero

   (x + 8)(x - 3) = 0 → x + 8 = 0 or x - 3 = 0

   Si dos cosas multiplicadas dan cero, al menos una de ellas es cero: ese único hecho es lo que convierte una cuadrática en dos ecuaciones lineales. También es la razón de que reordenar en el primer paso no fuera opcional. Volver a desarrollar los paréntesis hasta x² + 5x − 24 es una comprobación de cinco segundos de que la factorización está bien.

4. 04

   Lea las dos raíces

   x = -8 or x = 3

   Una cuadrática tiene dos raíces salvo que los dos paréntesis sean idénticos, y dar una sola es un punto perdido aunque la que se dé sea correcta. Cada paréntesis se resuelve como una ecuación lineal corriente, así que el signo se invierte: (x + 8) da x = −8, no +8.

5. 05

   Use la fórmula cuando no se deje factorizar

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

   La mayoría de las cuadráticas no tienen una pareja de factores enteros, y buscar una que no existe es donde desaparece el tiempo de examen. Si un minuto de búsqueda no da nada, pase a la fórmula: funciona con cualquier cuadrática, se factorice o no, y la pregunta suele avisarlo al pedir las respuestas con cierto número de decimales.

6. 06

   Compruebe las dos raíces en la ecuación original

   x = -8: 64 - 40 = 24 ✓ x = 3: 9 + 15 = 24 ✓

   Sustituir en la ecuación original —la anterior a reordenar— es lo que hace de esto una comprobación y no una repetición de su propio desarrollo. Las dos raíces tienen que cumplirla. Una raíz que falla suele señalar un error de signo en los paréntesis y no un fallo del método.

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Elegir entre los tres métodos

Hay tres caminos hasta las raíces, y parte de la destreza está en decidir deprisa cuál tomar. Factorizar es lo más rápido cuando funciona, la fórmula funciona siempre, y completar el cuadrado es lo que se usa cuando la pregunta pide el vértice o una respuesta exacta con radicales.

El enunciado de la pregunta suele ser la pista. "Dé las respuestas con 2 decimales" casi siempre significa la fórmula, porque una cuadrática factorizable habría dado respuestas exactas. "Escríbalo en la forma (x + a)² + b" significa completar el cuadrado, y ningún otro método se llevará los puntos.

• Factorizar: lo más rápido, pero solo para cuadráticas con una pareja de factores enteros
• Fórmula cuadrática: funciona siempre; espérela cuando se piden decimales
• Completar el cuadrado: para vértices, respuestas exactas con radicales y demostraciones

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La fórmula, resuelta entera

Tome 3x² + 5x − 1 = 0, que no tiene una pareja de factores razonable. Aquí a = 3, b = 5 y c = −1. El discriminante es b² − 4ac = 25 − 4 × 3 × (−1) = 25 + 12 = 37, así que las raíces son x = (−5 ± √37) / 6.

Como √37 ≈ 6.0828, las dos raíces son x = (−5 + 6.0828) / 6 ≈ 0.180 y x = (−5 − 6.0828) / 6 ≈ −1.85, las dos con tres cifras significativas. Sustituyendo 0.180 se obtiene 3(0.0325) + 0.902 − 1 ≈ 0, que es la comprobación.

El error más frecuente es con la c cuando es negativa: −4 × 3 × (−1) es +12, no −12. Escribir la sustitución con los paréntesis puestos, en lugar de teclear directamente en la calculadora, es lo que lo evita.

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Lo que el discriminante dice antes de resolver

La parte que está bajo la raíz cuadrada, b² − 4ac, decide cuántas raíces reales tiene la ecuación, y las preguntas a menudo se refieren a ella directamente en lugar de pedir las raíces.

Vale la pena calcularlo primero incluso cuando se quieren las raíces, porque un discriminante negativo significa que no hay respuesta real que encontrar y seguir adelante es esfuerzo perdido.

• b² − 4ac > 0: dos raíces reales distintas; la curva corta el eje x dos veces
• b² − 4ac = 0: una raíz doble; la curva toca el eje x una vez
• b² − 4ac < 0: sin raíces reales; la curva no llega a tocar el eje x

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Cómo enseñamos esto

En nuestro programa de Matemáticas GCSE ponemos un límite de un minuto para buscar una pareja de factores. Los alumnos pierden más puntos buscando factorizaciones que no existen que por cualquier error en la propia fórmula, y un límite de tiempo declarado convierte una búsqueda sin final en una decisión.

También enseñamos el discriminante antes que la fórmula y no después. Un alumno que calcula b² − 4ac primero sabe qué tipo de respuesta esperar, y esa expectativa es lo que detecta un desliz de cálculo en la línea siguiente.