كيف تقرّب الأعداد

الطريقة، خطوة بخطوة

1. 1

   حدّد المنزلة التي تقرّب إليها

   Round 3,847 to the nearest hundred → the hundreds digit is 8

   وضع خط تحت الرقم الهدف قبل فعل أي شيء آخر يمنع الخطأ الأشيع، وهو التقريب إلى منزلة أخرى تمامًا. السؤال يذكر دائمًا أي منزلة؛ والطلاب تحت ضغط الوقت كثيرًا ما لا يقرؤونها.

2. 2

   انظر إلى الرقم الواحد الذي على يمينها — وإليه وحده

   3,847 → the digit right of the hundreds is 4

   الرقم التالي وحده هو الذي يحسم. والأرقام بعده لا صلة لها بالأمر مهما بدت كبيرة. وهذه أكثر قاعدة يخطئ فيها الطلاب، لأن 47 يبدو أنه ينبغي أن يُقرَّب إلى الأعلى مع أن الرقم 4 يقول إلى الأدنى.

3. 3

   طبّق القاعدة

   4 is less than 5 → hundreds digit stays 8 → 3,800

   التقريب إلى الأعلى يعني زيادة الرقم الهدف واحدًا؛ والتقريب إلى الأدنى يعني بقاءه كما هو. وفي الحالتين لا يتغير شيء على اليسار، إلا إذا دفع التقريب إلى الأعلى رقم 9 — فيتسلسل الأثر، وعليه فإن 3,970 إلى أقرب مئة تساوي 4,000.

4. 4

   أفرغ كل ما على اليمين

   3,847 → 3,800 (not 3,847 → 3,8)

   في الأعداد الصحيحة تصير الأرقام التي على اليمين أصفارًا، لأنها لا تزال تبقي القيمة المكانية مفتوحة. وفي الكسور العشرية تُحذَف ببساطة، لأنه لا توجد قيمة مكانية يجب إبقاؤها بعد آخر رقم عشري.

5. 5

   لا تقرّب مرتين أبدًا

   2.449 to 1 d.p. is 2.4, not 2.5

   تقريب 2.449 إلى منزلتين يعطي 2.45، وتقريب ذلك إلى منزلة واحدة يعطي 2.5 — وهو خطأ. قرّب دائمًا مرة واحدة من العدد الأصلي مستعملًا الرقم الحاسم الواحد. والتقريب المتسلسل هو الخطأ الأكثر بقاءً حتى مرحلة GCSE.

رقم واحد يحسم، ورقم واحد فقط

التقريب كله هو: حدّد المنزلة، وانظر إلى الرقم الذي يليها مباشرةً، ثم تصرّف. والأرقام الأبعد يمينًا لا تصوّت أبدًا. ويستحق هذا تأكيدًا حازمًا لأن الحدس يخالفه — 3,847 مقرَّبًا إلى أقرب مئة يبدو أنه ينبغي أن يصعد لأن 47 قريب من 50، لكن الرقم الحاسم هو 4 والإجابة 3,800.

وقاعدة أن 5 يُقرَّب إلى الأعلى عرف لا ضرورة رياضية. فالخمسة في المنتصف تمامًا، وكلا الاتجاهين قابل للدفاع؛ والتقريب إلى الأعلى هو ببساطة ما اتُّفق عليه، وهو ما تصحّح عليه كل هيئات الامتحانات.

• حدّد منزلة التقريب وعلّمها
• انظر إلى رقم واحد بالضبط على يمينها
• 5 أو أكثر يصعد، و4 أو أقل ينزل
• قرّب مرة واحدة من الأصلي — لا على مراحل

المنازل العشرية والأرقام المعنوية ليستا الشيء نفسه

التقريب إلى منزلتين عشريتين يعدّ المنازل بعد الفاصلة. والتقريب إلى رقمين معنويين يعدّ من أول رقم غير صفري أينما وقع. وفي 0.004736 يعطي هذان إجابتين مختلفتين تمامًا: 0.00 إلى منزلتين عشريتين، و0.0047 إلى رقمين معنويين. والطلاب الذين يعاملون التعليمتين على أنهما متبادلتان يفقدون درجات في أسئلة يقدرون عليها.

وتزداد أهمية الأرقام المعنوية كلما صغرت الأعداد أو كبرت، ولهذا تهيمن في GCSE وفي العلوم بينما تهيمن المنازل العشرية قبل ذلك. وقراءة أي منهما يطلبه السؤال تستحق ثانيتين متعمّدتين.

ما الغرض الحقيقي من التقريب

التقريب ليس غاية في ذاته؛ إنه موجود ليجعل التقدير ممكنًا. والسبب في أن الطالب يحتاج إلى تقريب 487 إلى 500 بسرعة هو أن يتحقق من أن 487 + 356 التي انتهت إلى 843 معقولة. وحين يُعلَّم موضوعًا قائمًا بذاته يبدو اعتباطيًا، ولا يحمله الطلاب إلى المواقف التي يكسب فيها درجات.

وهو أيضًا كيف تُعرَف الإجابات المعقولة. الطالب الطليق في التقريب يلاحظ أن سرعة 4,000 كم/س لدراج خطأ قبل أن يكتبها، وتلك درجة مُنقَذة في سؤال كان قد أخطأ في حسابه.

كيف نعلّم التقريب

نعلّم التقريب مع التقدير من الدرس الأول، لا موضوعًا مستقلًا أبدًا. الطالب الذي لم يقرّب يومًا إلا لأن سؤالًا قال «قرّب هذا» لن يقرّب تلقائيًا للتحقق من إجابة، والتحقق هو موضع الدرجات.

وندرّب أيضًا على مزلق التقريب المتسلسل صراحةً، لأنه يبقى إلى مدى بعيد. وطلب تقريب 2.449 إلى منزلة عشرية واحدة من طالب في الصف العاشر طريقة موثوقة لمعرفة إن كان تقريبه قاعدةً أم عادة.