الرياضيات
كيف تحلّ المعادلات الآنية
كبِّر المعادلتين حتى يتطابق معاملا أحد الحرفين، واجمع أو اطرح لحذفه، ثم عوّض بالناتج لإيجاد الحرف الآخر. حل كامل للمعادلتين 3x + 2y = 19 و4x − 5y = 10.
الإجابة باختصار
المعادلات الآنية معادلتان تشتركان في المجهولين نفسيهما، وحلّهما يعني إيجاد الزوج الوحيد من القيم الذي يحقّقهما معًا. احذف أحد الحرفين بتكبير المعادلتين حتى يتطابق معاملاه، ثم اجمع أو اطرح لإزالته، ثم عوّض بالناتج لإيجاد الحرف الآخر.
الطريقة، خطوة بخطوة
رتّب المعادلتين على النسق نفسه
(1) 3x + 2y = 19 (2) 4x - 5y = 10وضع حد x وحد y والثابت في المواضع نفسها في السطرين هو ما يجعل الخطوة التالية عملية على الأعمدة بدل أن تكون بحثًا. وترقيم المعادلتين مهم أيضًا — فستعود إليهما، و«عوّض في (1)» أوضح من الإشارة إلى سطر.
اختر الحرف الذي تحذفه واجعل معامليه متطابقين
(1) × 5: 15x + 10y = 95 (2) × 2: 8x - 10y = 20نضرب كل معادلة كاملة في معامل الأخرى حتى يصير حدّا y هما +10y و−10y. وضرب المعادلة كلها في عدد يبقيها قائلة الشيء نفسه، ولهذا يُسمح بهذه الخطوة. واختيار y هنا بدل x ليس اعتباطيًا: فالإشارتان متعاكستان أصلًا، فتكون الخطوة التالية جمعًا.
اجمع أو اطرح لإزالة ذلك الحرف
15x + 10y + 8x - 10y = 95 + 20 → 23x = 115 → x = 5الإشارات المتعاكسة تُجمع، والمتطابقة تُطرح. والغاية معادلة واحدة في مجهول واحد، وهي مسألة سبق حلّها. أما الجمع حين تتطابق الإشارتان — وهي أشيع الزلات هنا — فيُبقي الحرفين مكانهما ويقف الحل عند ذلك.
عوّض في المعادلة الأصلية الأبسط
3(5) + 2y = 19 → 15 + 2y = 19 → 2y = 4 → y = 2العودة إلى معادلة أصلية بدل إحدى النسختين المكبَّرتين تُبقي الأعداد صغيرة وتتفادى وراثة خطأ من التكبير. وأيّ من الأصليتين يفي بالغرض؛ واختيار ذات المعاملات الأصغر توفير مجاني.
تحقّق في المعادلة التي لم تستعملها
4(5) - 5(2) = 20 - 10 = 10 ✓التعويض في المعادلة التي استُعملت للتعويض لا يثبت إلا حساب ذلك السطر وحده. أما استعمال المعادلة الأخرى فيختبر القيمتين أمام معلومات لم تُفحصا أمامها بعد، وهذا ما يجعله تحققًا حقيقيًا.
ماذا يطلب زوج من المعادلات الآنية
المعادلة الواحدة بمجهولين لها ما لا نهاية من الحلول — ففي 3x + 2y = 19، لكل x قيمة y تناسبها. أما المعادلتان معًا فتضيّقان ذلك عادةً إلى زوج واحد، وهذا الزوج هو الإجابة. وهندسيًا، كل معادلة خط مستقيم، والحل هو نقطة تقاطعهما.
وهذه الصورة تفسّر الحالتين الشاذتين. فالخطان المتوازيان لا يتقاطعان أبدًا، فلا حل للمعادلتين، وحذف أحد الحرفين يحذف الآخر معه فيبقى شيء غير صحيح مثل 0 = 7. والخطان المتطابقان يتقاطعان في كل نقطة، والحذف نفسه يترك 0 = 0.
طريقة التعويض، ومتى تُستعمل
الحذف هو الطريقة الافتراضية لأنه يعالج معظم الأزواج بأقل كتابة. أما التعويض فأسرع في حالة واحدة بعينها: حين تعطي إحدى المعادلتين حرفًا وحده أصلًا، أو يمكن ترتيبها لذلك بحركة واحدة.
خذ y = 2x − 1 و3x + y = 9. فإحلال y في المعادلة الثانية يعطي 3x + (2x − 1) = 9، أي 5x − 1 = 9، فـ 5x = 10 وx = 2. ثم y = 2(2) − 1 = 3. والتحقق في المعادلة الثانية: 3(2) + 3 = 9. فالزوج هو x = 2 وy = 3.
- استعمل الحذف حين تكون المعادلتان على صورة ax + by = c
- استعمل التعويض حين تقرأ إحدى المعادلتين أصلًا y = … أو x = …
- كلتا الطريقتين تعطي الإجابة نفسها — والاختيار يخص الحساب لا الصحة
تحويل مسألة لفظية إلى معادلتين
معظم درجات الامتحان في هذا الموضوع تُمنح على تكوين المعادلتين لا على حلّهما. والنمط ثابت: مقداران مجهولان، ومعلومتان منفصلتان عنهما، ومعادلة من كل معلومة.
وعرِّف الحرفين كتابةً قبل أي شيء آخر — «ليكن c ثمن الكرسي الواحد بالروبية» — لأن x غير المعرَّف هو حيث تُفقد درجات الاستدلال. ثم اقرأ كل جملة من السؤال بوصفها معادلة مستقلة، ولا تبدأ الحل إلا بعد كتابة المعادلتين.
كيف ندرّس هذا
نصرّ على التحقق في المعادلة غير المستعملة. فالطلاب الذين يتحققون في المعادلة التي عوّضوا فيها يصدّقون إجابات خاطئة، والمعادلات الآنية موضوع يُنتج فيه خطأ إشارة واحد زوجًا يبدو معقولًا.
ومع طلاب GCSE نقضي وقتًا على تكوين المعادلتين أطول مما نقضيه على حلّهما، لأن هناك تضع الورقة درجاتها. فالحل إجراء؛ أما ترجمة فقرة إلى سطرين من الجبر فهي المهارة التي تُمتحَن.
أسئلة شائعة
متى تجمع المعادلتين ومتى تطرحهما؟
انظر إلى إشارتي الحدّين اللذين تحذفهما. فإن كانتا متعاكستين، مثل +10y و−10y، فاجمع المعادلتين. وإن كانتا متطابقتين، مثل +10y و+10y، فاطرح. وعكس ذلك يُبقي الحرفين مكانهما، وهذه إشارة إلى مراجعة الإشارات.
ما الفرق بين الحذف والتعويض؟
الحذف يكبّر المعادلتين حتى يُلغى أحد الحرفين عند الجمع أو الطرح. والتعويض يرتّب إحدى المعادلتين لتعطي حرفًا وحده، ثم يضع ذلك المقدار في الأخرى. وكلتاهما تعطي الإجابة نفسها؛ والحذف أقل كتابة عادةً ما لم تقرأ إحدى المعادلتين أصلًا y = مقدار.
لماذا ينتهي حلّي إلى 0 = 5؟
لأن المعادلتين تصفان خطين متوازيين ولا يوجد زوج من القيم يحققهما معًا. وهذا ليس خطأً — بل هو الإجابة، والدرجة تُمنح على قول إنه لا حل. وإن انتهيت إلى 0 = 0 بدل ذلك، فالمعادلتان تصفان الخط نفسه ولهما ما لا نهاية من الحلول.
في أي معادلة أصلية أعوّض؟
في ذات المعاملات الأصغر، وفي معادلة أصلية دائمًا لا في واحدة كبّرتها. فاستعمال معادلة مكبَّرة يحمل أي خطأ ضرب إلى الإجابة الثانية، واكتشافه هناك أصعب منه في الأولى.
هل يمكن أن تكون المجاهيل ثلاثة؟
نعم، لكن عندها تلزم ثلاث معادلات — فالقاعدة أنك تحتاج من المعادلات المستقلة بعدد المجاهيل. والطريقة هي نفسها: احذف حرفًا لتردّ ثلاث معادلات إلى معادلتين، ثم حلّ الزوج. وهذا يتجاوز مستوى GCSE، حيث المجهولان هما الحالة المعتادة.
المصادر
- 5.3 Solve Systems of Equations by Elimination — Elementary Algebra 2e — OpenStax, Rice University
آخر تحديث
ما زلت متعثّراً في هذا؟
يمكن للمعلّم أن يتابعك مباشرة وأنت تحلّ ويرى بالضبط أين يختلّ الأمر. الحصة الأولى مجانية.